--- title: 圆锥摆（傅科摆）综合实验——数据处理与进动分析 desc: 傅科摆通过摆球进动演示地球自转，但实验中受限于实验条件，很难在本科实验室复现。本实验基于底部仰视摄影与计算机视觉提取椭圆长轴方向，结合频域与时域分析，在控制阻尼和提高品质因数的同时，进动速率与理论值吻合度达98%，验证了傅科效应，并建立起对空气阻力的定量模型。 author: feie9454 date: 2025-05-11 tags: 物理、计算机 --- # 圆锥摆（傅科摆）综合实验——数据处理与进动分析 *改进初始条件的数据处理与物理分析* ## 前言 在先前的仰拍圆锥摆实验中，发现摆球轨迹（形似椭圆）的长轴会缓慢旋转，但旋转速度大于地转偏向力应有的速度，方向也不正确。 推测原因可能是： 1. 摆球释放时有一个自旋速度，传导到系统中 2. 铁架台与单摆形成共振 3. 空气扰动 因此，进行了试验装置的改进，把单摆挂在墙壁上，避免了铁架台，也大幅增大了摆长，方便精细化调整实验。 可惜调整装置后第一次实验，结果和之前类似，旋转速度很大，远超出地转应有的水平。 ![image-20250511084546645](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/image-20250511084546645.png) | 物理量 | 数值 (平均) | 解释 | | ------------------- | ------------------------------------ | ---------------------------------------- | | 长轴初始长度 a₀ | ≈ 1.69 ×10³ px | 取像素作单位，后续按指数衰减 | | 阻尼时间常数 τ | **τ ≈ 3.0 ×10² s (≈ 5 min)** | a(t) ≈ a₀ e^(–t/τ)；对应阻尼系数 γ ≈ 1/τ | | 长轴方位角 **θ(t)** | 近线性：θ ≈ θ₀ + ωₚ t | | | 平均进动角/周期 Δθ | **0.76 °/T** (≈ 0.013 rad) | 方向顺时针（在本坐标系下为负） | | 进动角速度 ωₚ | **5.9 ×10⁻³ rad s⁻¹** (≈ 0.34 ° s⁻¹) | δω = ωₓ – ωᵧ | 之后进行非常仔细的操作，使得摆球几乎无旋转释放，得到了下面的数据，也证明了之前的问题完全是释放条件导致的。 -->V(/resources/Phy-exp/自旋示意.mp4) ## 摘要 在 *L = 1.72 m*、*m = 27 g*、北纬 37 ° 条件下，通过顶部俯视摄影与计算机视觉追踪获取摆球 (X,Y) 坐标，逐周期提取椭圆长轴参数。 改进“**零自旋**”初始条件后，剩余椭圆进动速率最好情况下仅与地球自转傅科率相差1.9%，最差情况也在同一数量级；阻尼品质因数提升至 *Q ≈ 500*。 ## 1 实验装置与参数 | 量 | 符号 | 数值 | 备注 | | ---------- | --------- | ---------- | --------------------------- | | 摆长 | $L$ | **1.72 m** | 悬点到质心 | | 摆球质量 | $m$ | **27.0 g** | 实心不锈钢球 | | 纬度 | $\varphi$ | **37 ° N** | 实验位置 | | 摄像机帧率 | | 60 fps | FHD (实验一) / UHD (实验二) | 实验环境： ![IMG_4918](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/IMG_4918.webp) ## 2 数据处理流程 1. **FFT 定周期** $$ T = 2\pi/\omega_0 = 2.630\text{s} $$ 2. **按 T 分段 → 椭圆拟合** *PCA* 求协方差特征值 λ₁, λ₂，长轴 $$ a = 2\sqrt{2\lambda_{1}} $$ 长轴方向 $$ \theta = \arctan\!\frac{v_{y}}{v_{x}} $$ 3. **角度预处理** 先乘 2 再 `np.unwrap` 再除 2，避免 ±90 °/180 °跳变。 4. **拟合** * **阻尼**：$a(t)=a_{0}e^{-t/\tau}$ * **进动**：$\theta(t)=\theta_{0}+\omega_{p}t$ ## 3 结果汇总 | 实验一 | 实验二 | | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | | ![image-20250511034320528](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/image-20250511034320528.png) | ![image-20250511034300354](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/image-20250511034300354.png) | | ![pendulum_length](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_length-1746905856609-13.png) | ![pendulum_length](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_length-1746905874563-22.png) | | ![pendulum_angle](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_angle-1746905858024-15.png) | ![pendulum_angle](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_angle-1746905877647-24.png) | | ![pendulum_change](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_change-1746905860347-17.png) | ![pendulum_change](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/pendulum_change-1746905881604-26.png) | ![db04e0a12414cf9f96d24d4354e7542581cdb037cf90ec7149423d1633d1d526](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/db04e0a12414cf9f96d24d4354e7542581cdb037cf90ec7149423d1633d1d526.png) ![f08147fd9a0dda4ef7fe5ad26a21827846b6a9fe0d4f675ce7895c2c998b47e7](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/f08147fd9a0dda4ef7fe5ad26a21827846b6a9fe0d4f675ce7895c2c998b47e7.png) ### 3.1 关键数值 | Parameter | 实验一 | 实验二 | | --------------- | ---------- | ---------- | | **周期 T** | 2.633 s | 2.625 s | | **阻尼常数 τ** | 405 ± 5 | 422 ± 5 | | **品质因数 Q** | 505 | 483 | | **进动速率 ωₚ** | -4.5 ×10⁻⁵ | –2.1 ×10⁻⁴ | ![output](./%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%91%86%EF%BC%88%E5%82%85%E7%A7%91%E6%91%86%EF%BC%89%E7%BB%BC%E5%90%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C%E2%80%94%E2%80%94%E6%95%B0%E6%8D%AE%E5%A4%84%E7%90%86%E4%B8%8E%E8%BF%9B%E5%8A%A8%E5%88%86%E6%9E%90.assets/output.png) 地转傅科速率 $\omega_{F}=\Omega\sin\varphi$ = $\Omega=7.292\times10^{-5}$ = 4.39 × 10⁻⁵ rad s⁻¹ ### 3.2 阻尼行为 指数衰减 $a(t)$ 与实测散点 $(R^{2}=0.997)$ 完全吻合 → 线性粘滞模型成立。 能量每周期损失 $$ \frac{\Delta E}{E}\approx \frac{2\pi}{Q}=1.07\% $$ ### 3.3 进动比较 最好情况： $$ \frac{|\omega_{p}|}{\omega_{F}}\approx 1.019 $$ ## 4 讨论 ### 为什么“摆球自旋”会把整套圆锥摆的长轴带着一起转？ | 过程 | 关键点 | 结果 | | --------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ | ------------------------------------------------------------ | | ① **放手瞬间的自旋**摆球绕悬丝轴线有角速度 ωs | 给摆球自身带来 **自旋角动量**Lspin=I ωs（I≈2/5 mr²） | 这部分角动量多半被“存”在 **扭转变形** 的悬丝里 | | ② 悬丝扭转—摆平面耦合 | 悬丝有有限扭转刚度 κ（Nm rad⁻¹）静止时扭力 = κ θtwist | 扭力轴和摆线张力轴略有夹角 → 会在水平面产生 **小但持续的横向力 F⊥** | | ③ Lspin ↔ Lorbital 交换 | 为满足总角动量守恒，部分 Lspin **逐渐转化** 为轨迹的枢转角动量 Lorb=m r² φ̇ | 轨迹椭圆的 **长轴开始顺(或逆)时针漂移** | | ④ 自旋耗散 | 空气阻力 + 线材内摩擦让 ωs 衰减 | 扭转回复力减小 → 长轴漂移速率随时间趋零 | > **一句话**：摆球自旋“扭”着悬丝，悬丝的反扭力给了摆球水平向的微小推力；为了守恒角动量，系统把这股推力表现为 **摆平面的进动**。 ------ #### 定量估算（典型数字） - 不锈钢球 m = 27 g, r ≈ 2 cm → I≈4.3 × 10⁻⁶ kg m² - 假设放手时 **ωs = 10 rad/s**： Lspin ≈ 4.3 × 10⁻⁵ N·m·s - 圆锥摆小半径 a≈0.05 m，L=1.72 m → 为让摆面每秒转 0.01 rad 只需 Lorb=m a² φ̇ ≈ 0.27 × (5 cm)² ×0.01 = 6.8 × 10⁻⁵ N·m·s > 两者同量级！——难怪轻微自旋就能显著改变摆面走向。 ------ ### 为什么“直着放”几乎消除了偏转？ 1. **Lspin≈0** → 悬丝几乎没有额外扭转能； 2. 摆球只剩下两自由度 (x,y) 的线性简谐振动，x、y 本征频率只受悬点几何 (ωx,ωy) 控制； 3. 于是长轴进动速率 ωp ≈ ½(ωx–ωy) → 很小，可被你调平到接近傅科速率。 ------ ## 如何彻底避免自旋耦合？ | 方法 | 作用 | | ---------------------------------- | ------------------------------------- | | 在悬丝下端装 **万向小叉/滚珠轴承** | 自由脱开自旋，扭力不会传下摆面 | | 用 **防扭钢丝**（多股细丝绞合） | 削弱 κ，减小扭转‑平面耦合 | | 在放手前让摆球 **轻触静止垂直面** | “刹车”掉自旋再松手 | | 录像分析时 **滤掉早期十几个周期** | 等自旋‑扭转能量耗散后再开始测傅科进动 | 只要自旋角动量比你想观测的轨迹角动量小一个数量级（Lspin ≪ m a² ωF），就能把人为偏转压到地转量级以下。